KATA PENGANTAR
Puji dan syukur
hanya kita panjatkan ke hadirat Allah SWT. Yang hanya kepada-Nyalah , yang
harus menghambakan diri. Shalawat serta salam semoga tercurahkan kepada Nabi
kita, Muhammad SAW., keluarga beserta sahabatnya dan akhirnya kepada kita
sebagai umat yang tunduk terhadap ajaran yang dibawanya.
Penulis
merasa lega dan bahagia karena bisa menyelesaikan makalah yang berjudul Distribusi
Normal,ini sesuai dengan waktu yang direncanakan, dan semoga makalah ini
bermanfaat, bukan hanya bagi para mahasiswa atau pelajar, namun juga bagi
masyarakat luas berminat terhadap makalah yang kami sajikan ini atau yang
berminat tentang distri normal tersebut.
Semoga
makalah ini bermanfaat bagi umat Islam dalam memperteguh keimanannya. Amin.
Penulis
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 LATAR
BELAKANG
Statistika merupakan
pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau
penganalisisannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan
penganalisaan yang dilakukanan. Belakangan ini, statistika banyak digunakan
dalam kehidupan sehari-hari dalam berbag aspek kehidupan, seperti dalam
instansi pemerintahan, industri, penelitian, teknik, bisnis, sosiologi, medik,
pendidikan, pertanian, perdagangan, ekonomi, dan masih banyak lagi.
Salah satu bagian
statistika yang juga sangat penting dalam penelitian adalah normalitas. Normalitas ini berguna untuk mengetahui
apakah sampel yang kita ambil tersebut normal atau dengan kata lain dapat
digunakan atau tidak.
Data kuantitatip biasa dapat
disajikan dalam bentuk suatu distribusi frekuensi atau histogram. Bila data
yang didapat makin banyak dan intervalnya makin sempit, maka gambaran histogram
akan terlihat sebagai suatu kurva yang halus. Selanjutnya kita dapat
menggambarkan histogram tanpa terlihat gambaran batang-batangnya dan tampak
hanya sebagai sebuah kurva semata. Kurva yang didapat secara teoritis
menggambarkan distribusi sebagian besar variabel yang bersifat kontinu. Salah
satu bentuk kurva distribusi yang paling penting adalah Distribusi Normal.
Untuk mengetahui apakah
data tersebut normal atau tidak, dapat diketahui melalui suatu kurva distribusi
normal. Oleh karena itu, dalam makalah ini akan dibahas tentang distribusi
normal tersebut.
1.2 RUMUSAN
MASALAH
Adapun rumusan masalah dalam
penulisan ini adalah:
1. Apakah
pengertian distribusi normal ?
2. Bagaimana
didapatkannya kurva distribusi normal?
3. Bagaimana
suatu data dikatakan normal?
1.3 TUJUAN
Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah:
1. Mengetahui
pengertian distribusi normal;
2. Mengetahui
kurva distribusi normal;
3. Mengetahui
syarat suatu data dikatakan normal.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Distribusi
Normal
Salah satu distribusi frekuensi yang
paling penting dalam statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal
berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua
arah positif dan negatifnya. Penggunaanya sama dengan penggu naan kur va
distribusi lainnya. Frekue nsi relatif suatu variabel yang mengambil nilai
antara dua titik pada sumbu datar. Tidak semua distribusi berbentuk lonceng setangkup
merupakan distribusi normal.
Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan
persamaan matematika kurva normal yang menjadi dasar banyak teori statistika
induktif. Distribusi normal sering pula disebut Distribusi Gaussuntuk
menghormati Gauss (1777 – 1855), yang juga menemukan persamaannya waktu
meneliti galat dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama.
Sifat dari variabel kontinu berbeda
dengan variabel diskrit. Variabel kontinu mencakup semua bilangan, baik utuh
maupun pecahan. Oleh karenanya tidak bisa dipisahkan satu nilai dengan nilai
yang lain. Itulah sebabnya fungsi variabel random kontinu sering disebut fungsi
kepadatan, karena tidak ada ruang kosong diantara dua nilai tertentu. Dengan
kata lain sesungguhnya keberadaan satu buah angka dalam variabel kontinu jika
ditinjau dari seluruh nilai adalah sangat kecil, bahkan mendekati nol. Karena
itu tidak bisa dicari probabilitas satu buah nilai dalam variabel kontinu,
tetapi yang dapat dilakukan adalah mencari probabilitas diantara dua buah
nilai.
Distribusi kontinu mempunyai fungsi
matematis tertentu. Jika fungsi
matematis tersebut digambar, maka akan terbentuk kurva
kepadatan dengan sifat sebagai berikut:
1. Probabilitas
nilai x dalam variabel tersebut terletak dalam rentang antara 0 dan 1
2. Probabilitas
total dari semua nilai x adalah sama dengan satu (sama dengan luas daerah di
bawah kurva)
Fungsi kepadatan merupakan dasar
untuk mencari nilai probabilitas di antara dua nilai variabel. Probabilitas di
antara dua nilai adalah luas daerah di bawah kurva di antara dua nilai
dibandingkan dengan luas
daerah total di bawah kurva. Dapat dicari luas daerah
tersebut dengan menggunakan integral tertentu (definit integral).
Persamaan matematika distribusi
peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan
dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ). Begitu
μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai contoh, bila μ =
50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan muda h dihitung untuk
berbagai harga x dan kurvanya dapat digambarkan. Kedua kurva bentuknya persis
sama tapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu
datar.
Dengan memeriksa turunan pertama dan
kedua dari n(x ; μ, σ) dapat
diperoleh lima sifat kurva normal berikut :
1. Modus, titik
pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x = μ
2. Kurva
setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan μ
3. Kurva
mempunyai titik belok pada x = μ σ, cekung dari bawah bila μ – σ < x < μ
+ σ, dan cekung dari atas untuk harga x lainnya
4. Kedua ujung
kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x bergerak menjauhi μ
baik ke kiri maupun ke kanan
5. Seluruh luas
di bawah kurva diatas sumbu datar sama dengan 1Bila xmenyatakan peubah acak
distribusi maka P(x1 < x < x2) diberikan oleh daerah yang diarsir dengan
garis yang turun dari kiri ke kanan. Jelas bahwa kedua daerah yang diarsir
berlainan luasnya. Jadi, peluang yang berpadanan dengan masing-masing
distribusi akan berlainan pula.
2.2 Kurva Normal
Grafik
dari distribusi normal yang berbentuk seperti genta (lonceng) setangkup yang
simetris disebut kurva normal.
Kurva normal adalah bila X adalah suatu
peubah acak normal dengan nilai tengah µ dan ragam σ2, maka
persamaannya adalah
Untuk – ∞ < x <
∞. Dalam hal ini π = 3.14159… dan e = 2.71828…
Bentuk
kurva normal itu sendiri berbeda tergantung dari nilai µ dan σ2 nya.
Jika nilai µ berharga positif maka kurva akan bergeser ke kanan dan jika
bernilai negatif maka kurva akan bergeser ke kiri dari titik X =
0. Jika nilai σ2 bernilai semakin besar maka kurva normal akan
semakin landai dan jika nilai σ2 bernilai semakin kecil maka
kurva normal akan semakin curam. Berikut perbandingan kurvanya
|
Gambar 1. Kurva normal
|
Dari gambar di atas maka dapat
diperoleh sifat-sifat kurva normal, yaitu :
1. Modusnya yaitu titik pada sumbu
mendatar yang membuat fungsi mencapai maksimum yang terjadi pada x =
µ
2. Kurvanya setangkup terhadapa suatu
garis tegak yang melalui nilai tengah µ
3. Kurva ini mendekati sumbu mendatar
secara asimtotik dalam kedua arah bila kita semakin menjauhi nilai tengahnya.
4. Luasan daerah yang terletak di bawah
kurva tetapi di atas sumbu mendatar sama dengan 1
Fungsi
densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut
dimana
:
π = 3,1416
e = 2,7183
µ =
rata-rata
σ =
simpangan baku
Persamaan di
atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti pada Gambar 2
berikut.
Gambar 2. kurva
distribusi normal umum
Sifat-sifat penting
distribusi normal adalah sebagai berikut:
1. Grafiknya
selalu berada di atas sumbu x
2. Bentuknya
simetris pada x = µ
3. Mempunyai
satu buah modus, yaitu pada x = µ
4. Luas
grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian
a. Kira-kira
68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ
b. Kira-kira
95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ
c. Kira-kira
99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ
Membuat kurva normal umum bukanlah
suatu pekerjaan yang mudah. Rumus untuk mencari fungsi densitasnya (nilai
pada sumbu Y) begitu rumit. Oleh karena itu, tidak banyak digunakan oleh
masyarakat luas.
Kurva distribusi normal yang lebih
banyak digunakan adalah distribusi normal baku. Kurva distribusi normal
baku diperoleh dari distribusi normal umum dengan cara transformasi nilai x
menjadi nilai z, dengan formula sbb:
Kurva distribusi normal baku disajikan
pada Gambar 3 berikut ini.
Gambar 3. Kurva distribusi normal baku
Kurva distribusi normal baku lebih
sederhana dibanding kurva normal umum. Pada kurva distribusi normal baku,
nilai µ = 0 dan nilai σ=1, sehingga terlihat lebih menyenangkan. Namun,
sifat-sifatnya persis sama dengan sifat-sifat distribusi normal umum.
Luas daerah di bawah kurva normal, bila
x menyatakan peubah acak distribusi maka P(x1 < x < x2)
diberikan oleh daerah yang
berwarna abu-abu.
P(x1<x<x2) =
probabilitas variabel random x memiliki nilai antara x1dan x2
P(x1<x<x2) = luas dibawah kurva
normal antara x=x1dan x=x2
2.3 Probabilitas
Kurva Normal
2.4
Transformasi Normal Standar
Distribusi normal adalah distribusi
variabel kontinu dengan fungsi
matematis adalah sebagai berikut:
f (x
=
e
dengan π = 3,14159... dan e= 2,71828
Selain beberapa konstanta yang tidak
akan berubah nilainya (e, π), bentuk distribusi kurva normal ditentukan oleh
tiga variabel, yaitu:x = nilai dari distribusi variabelμ = mean dari
nilai-nilai distribusi variabel σ = standar deviasi dari nilai-nilai distribusi
variabel Para ahli statistik telah menyelidiki bentuk distribusi normal dengan
mempelajari fungsi tersebut dan didapatkan sifat-sifat sebagai berikut:
a. Simetris,
yaitu mean distribusi terletak di tengah dengan luas bagian sebelah kiri sama
dengan bagian sebelah kanan (berbentuk lonceng) sehingga total daerah di bawah
kurva sebelah kiri = total daerah di bawah kurva sebelah kanan = 0,5
b. 68% dari
nilai variabel terletak dalam jarak 1σ (antara -1σ dan +1σ)
c. 95% dari
nilai variabel terletak dalam jarak 1,96σ
d. 99% dari
nilai variabel terletak dalam jarak 3σ
Selain menggunakan metode integral,
perhitungan probababilitas distribusi normal juga bisa menggunakan tabel
distribusi normal, yaitu tabel yang memuat probabilitas dari berbagai nilai
variabel dalam distribusi normal. Metode ini lebih praktis untuk keperluan
penelitian. Yang menjadi masalah dalam penyusunan tabel tersebut adalah
kenyataan bahwa terdapat banyak sekali macam distribusi normal, dipengaruhi
oleh besarnya nilai mean (μ) dan standar deviasinya (σ).
Untuk mengatasi hal tersebut, maka
para ahli hanya membuat satu buah tabel yaitu tabel untuk menghitung
nilai-nilai probabilitas distribusi normal standar, sedangkan jika akan
menghitung probabilitas nilai-
nilai variabel distribusi normal yang tidak standar,
tetap bisa menggunakan tabel distribusi normal standar tersebut dengan memakai
metode konversi. Yang dimaksud distribusi normal standar adalah distribusi
normal dengan sifat khusus, yaitu distribusi dengan normal yang mean = 0 dan
standar deviasi = 1.
Untuk mengatasi kesulitan dalam
menghitung fungsi padat normal maka dibuat tabel luas kurva normal sehingga
memudahkanpenggunaanya. Akan tetapi, tidak akan mungkin membuat tabel yang
berlainan untuk setiap harga μ dan σ. Untunglah, seluruh pengamatan dengan
setiap peubah acak normal x dapat ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan
baru suatu peubah acak normal z dengan rataan nol dan variansi 1. Hal ini dapat
dikerjakan dengan transformasi.
z =
Bilamana x mendapat suatu harga x,
harga z padanannya diberikan oleh z = (x – μ)/σ. Jadi, bila z berharga antara x
= x1dan x = x2, maka peubah acak z akan berharga z1= (x1– μ)/σ dan z2= (x2–
μ)/σ. Distribusi peubah acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 disebut
distribusi normal baku.
Dengan
demikian sepanjang diketahui rata-rata dan deviasi standar, maka dapat
ditransformasi setiap distribusi nilai ke dalam nilai-nilai z. Bagaimanapun
hanya nilai-nilai z dari variabel-variabel yang berdistribusi normal yang akan
dengan sendirinya berdistribusi normal. Dengan kata lain, transformasi ke dalam
nilai-nilai z tidak mengubah bentuk awal dari distribusi itu.
2.5
Tabel Distribusi Normal Standar
Berikut ini beberapa hal tentang distribusi normal
standar :
1. Tabel
distribusi normal standar disusun untuk menghitung probabilitas nilai-nilai
variabel normal standar, yaitu distribusi normal dengan mean nol (μ = 0) dan
standar deviasi satu (σ = 1). Variabel distribusi normal standar menggunakan
lambang z.
2. Karena
distribusi normal standar bersifat simetris (kiri-kanan sama), maka tabel
distribusi normal standar dibuat hanya untuk menghitung bagian sebelah kanan
mean dari distribusi tersebut. Untuk menghitung nilai di sebelah kiri, maka
nilai z yang negatif dianggap sama dengan z positif, sehingga tabel tersebut
tetap bisa digunakan.
3. Nilai-nilai
probabilitas yang terdapat dalam tabel tersebut adalah nilai probabilitas
antara μ = 0 dan satu nilai z tertentu, bukan antara dua buah nilai z
sembarang.
Nilai z begitu penting karena semua
distribusi normal ukuran nilai apapun dapat ditransformasi kedalam satu
distribusi nilai, yaitu distribusi nilai z yang disebut dengan distribusi
normal standar. Distribusi mempunyai dua sifat penting, yaitu :
1.
Rata-rata distribusi z, μ adalah 0
2.
Deviasi standar distribusi z, σ adalah 1.
Distribus i asli dan sesudah ditransformasi
dikarenakan semua hargax antara x1dan x2mempunyai harga z padanan antara z1 dan
z2, luas di bawah kurva x antara ordinat x = x1 dan x = x2 sama dengan luas di
bawah kurva z antara ordinat yang telah ditransformasikan z = z1 dan z = z2. Sekarang
banyaknya tabel kurva normal yang diperlukan telah diperkecil menjadi satu,
yaitu distribusi normal baku.
2.4 Uji Hipotesis
Dua unsur utama dalam statistik
inferensi adalah estimasi dan pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis
merupakanhal sangat penting dalam statistik inferensi. Dua tipe pengujian
hipotesis, yaitu uji t untuk menguji hipotesis pada parameter tunggal
(individual) dan uji F menguji hipotesis pada parameter-parameter secara
simultan.
Pengujian hipotesis dilakukan
setelah menghitung estimasi terhadap parameter populasi yang benar dengan
serangkaian pertanyaan-pertanyaan yang jauh lebih rumit. Pengujian hipotesis
menentukan apa yang dapat dipelajari tentang alam nyata dari sampel. Apabila
hipotesis ditolak dengan menggunakan hasil yang muncul oleh sampel yang
digunakan maka hipotesis dinyatakan benar, keanehan-keanehan yang terjadi bahwa
sampel tertentu akan teramati.
Pengujian hipotesis digunakan di
berbagai bidang. Sebuah perusahaan memiliki bagian penelitian dan pengembangan
yang salah satu tugasnya adalah menguji produk sebelum dipasarkan. Seorang ahli
ekonomi Milton Friedman melakuka n uji statistik tentang hubungan antara
konsumsi dan pemakai.
Walaupun para peneliti selalu
tertarik untuk mempelajari apakah teori yang dipertanyakan (hipotesis) didukung
oleh estimasi-estimasi yang dihasilkan dari sebuah sampel yang berasal dari
pengamatan-pengamatan alam nyata, nampaknya hampir tidak mungkin untuk
membuktikan bahwa suatu hipotesis tertentu adalah benar. Semua yang dapat
dilakukan menyatakan bahwa suatu sampel tertentu cocok atau sesuai dengan
hipotesis tertentu. Walaupun hal tersebut tidak dapat membuktikan
bahwa suatu teori tertentu adalah “benar” dengan
menggunakan uji hipotesis dengan suatu tingkat keyakinan tertentu. Dalam kasus
seperti ini, peneliti menyimpulkan bahwa sangatlah tidak mungkin hasil sampel
akan teramati, jika teori yang dihipotesiskan adalah benar. Jika terdapat bukti
yang tidak sesuai dengan validitas teori, pertanyaan itu sering disimpan sampai
data tambahan atau suatu pendekatan baru memberikan jalanterang bagi persoalan
itu.
Ada tiga topik yang sangat penting
untuk dibicarakan dalam aplikasi pengujian hipotesis pada analisis regresi :
1.
Spesifikasi hipotesis yang harus diujikan
2.
Keputusan yang digunakan untuk menentukan apakah
menolak hipotesis yang dipertanyakan
3.
Macam kesalahan yang mungkin dihadapi jika aplikasi
keputusan menghasilkan kesimpulan yang tidak benar.
2.5 Spesifikasi Hipotesis :
Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif
Tahap
pertama dalam pengujian hipotesis adalah menyatakan secara eksplisit hipotesis
yang akan diuji. Untuk menjaga rasa kejujuran, peneliti seharusnya menyatakan
spesifikasi hipotesis tersebut sebelum parameter dalam hipotesis itu
diestimasi. Maksud mempelajari teori lebih dahulu adalah untuk memudahka
hipotesis dengan dasar teori selengkap mungkin. Hipotesis yang disusun setelah estimasi
adalah pembenaran hasil-hasil tertentu daripada menguji validatasinya.
Akibatnya, sebagian besar ahli statistik inferensi harus hati-hati dalam
menyusun hipotesis sebelum estimasi.
Dalam
menyusun sebuah hipotesis, peneliti harus menyatakan secara hati-hati tentang
apa yang dipikir tidak benar dan apa yang dipikir benar. Ini mencerminka n
harapan-harapan peneliti tentang suatu parameter atau parameter-parameter
tertentu diringkas dalam bentuk hipotesis nol dan hipotesis alternatif.
Hipotesis
nol adalah suatu pernyataan tertentu tentang nilai-nilai dalam suatu range dari
parameter yang akan diharapkan terjadi apabila teori yang dimiliki penelit i
tidak benar. Sedangkan Hipotesis alternatif digunakan untuk menspesifikasi
nilai-nilai dalam suatu range dari parameter yang diharapkan terjadi apabila
pernyataan teori oleh peneliti adalah benar.
Kata nol
berarti “kosong” dan hipotesis nol dapat dipertimbangkan sebagai hipotesis yang
mana peneliti tidak dipercaya. Dalam membangun hipotesis nol dan hipotesis
alternatif dengan cara seperti ini supaya dapat menyusun pernyataan yang kuat
apabila menolak hipotesis nol. Ini hanya terjadi apabiladidefinisikan hipotesis
nol dengan beranggapan bahwa hal tersebut tidak mengharapka n dapat membatasi
probabilitas menolak secara kebetulan hipotesis nol apabila faktanya memang
benar.
Pernyataan
sebaliknya tidak berlaku, yaitu bahwa sesunggu hnya hal tersebut tidak pernah
mengetahui probabilitas menerima secara kebetulan hipotesis nol apabila
faktanya salah. Konsekuensinya, hal tersebut tidak pernah dikatakan bahwa menerima
hipotesis nol. Dapat dikatakan bahwa tidak dapat menolak hipotesis nol atau meletakkan
kata menerima dalam permasalahan.
Dalam statistik inferensi, hipotesis
biasanya tidak menspesifikasi nilai-nilai tertentu, namun menyatakan suatu arah
atau tanda tertentu yang mana peneliti mengharapka n statistik hasil estimasi
itu akan diperoleh. D
apat dinyatakan hipotesis suatu parameter tertentu
akan positif atau negatif. Dalam kasus-kasus semacam itu hipotesis nol
menunjukkan bahwa apa yang diharapkan tidak terjadi, namun harapan itu
merupakan suatu range nilai hipotesis yang sama (dalam suatu range) untuk
hipotesis alternatif.
Notasi yang
digunakan untuk menunjukkan suatu hipotesis nol adalah “H0” dan notasi ini
diikuti oleh suatu pernyataan nilai atau range nilai-nilai yang tidak
diharapkan sebagai parameter yang akan diperoleh. Apabila kita mengharapkan
suatu parameter yang negatif maka hipotesis nol yang benar adalah
H0: μ < 0
(nilai yang tidak diharapkan)
Hipotesis alternatif dinyatakan oleh
“H1” diikuti oleh parameter nilai atau nilai-nilai yang diharapkan teramati :
H1: μ 0 (nilai yang diharapkan benar)
Cara lain untuk menyatakan hipotesis
nol dan hipotesis alternatif adalah menguji hipotesis bahwa μ adalah tidak
berbeda secara signifikan dari nol untuk masing-masing arah. Untuk pendekatan
seperti ini hipotesis nol ditulis :
H0: μ = 0
H1: μ 0
Oleh karena H1 memiliki nilai-nilai
pada kedua arah dari hipotesis nol, maka pendekatan ini disebut uji
dua-arahuntuk membedakan dengan contoh yang pertama, yaitu uji satu-arah.
BAB 3
PENUTUP
3.1 KESIMPULAN
Salah satu distribusi frekuensi yang
paling penting dalam statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal
berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua
arah positif dan negatifnya. Penggunaanya sama dengan penggu naan kur va
distribusi lainnya. Frekue nsi relatif suatu variabel yang mengambil nilai
antara dua titik pada sumbu datar. Tidak semua distribusi berbentuk lonceng
setangkup merupakan distribusi normal.
Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan
persamaan matematika kurva normal yang menjadi dasar banyak teori statistika
induktif. Distribusi normal sering pula disebut Distribusi Gaussuntuk
menghormati Gauss (1777 – 1855), yang juga menemukan persamaannya waktu
meneliti galat dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama.
Kurva normal adalah bila X adalah suatu
peubah acak normal dengan nilai tengah µ dan ragam σ2, maka
persamaannya adalah
n(x;
µ; σ) =
Suatu data dikatakan normal apabila
probablilitas kenormalannya berada di dalam daerah kurva distribusi normal
dengan batas x1 dan x2
